Apakah kalian tahu apa itu bilangan? Bilangan ada di sekitar kita semua. Bilangan membantu kita dalam menghitung, membilang, sampai merencanakan banyak hal yang berkaitan dengan angka dan kuantitas. Kita sering menggunakan bilangan saat bertransaksi, ada bilangan yang menyatakan sisa baterai di handphone kita, ada bilangan yang menyatakan kelajuan sepeda motor kita, ada bilangan yang menyatakan halaman buku kita, dan masih banyak lagi. Kita tidak dapat lepas dari bilangan.
Ada banyak sekali jenis bilangan dalam matematika. Beberapa jenis bilangan tersebut antara lain:
- Bilangan bulat yaitu bilangan negatif, nol, dan bilangan positif.
- Bilangan asli yaitu bilangan positif mulai dari 1 sampai tak hingga.
- Bilangan cacah yaitu nol dan bilangan positif mulai dari 1.
- Bilangan real yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional.
Selain keempat jenis bilangan tersebut, ada jenis-jenis bilangan yang lain seperti bilangan genap, bilangan ganjil, bilangan prima, bilangan komposit, bilangan imajiner, bilangan kompleks, dan lain-lain.
Pada artikel ini, kita akan belajar bersama tentang bilangan bulat.
Pengertian Bilangan Bulat
Kita telah menyinggung sebelumnya bahwa bilangan bulat terdiri dari bilangan negatif, nol, dan bilangan positif. Jadi, bilangan bulat adalah bilangan yang utuh (bukan pecahan) yang terdiri dari:
- Bilangan bulat negatif yaitu bilangan bulat kurang dari nol (…, -3, -2, -1)
- Bilangan nol (0)
- Bilangan bulat positif yaitu bilangan bulat lebih dari nol mulai dari 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.
Penyajian bilangan bulat pada garis bilangan seperti gambar di bawah ini.
Pemanfaatan bilangan bulat dalam kehidupan sehari-hari dapat kita jumpai pada pengukuran suhu pada termometer, poin ujian seleksi yang menggunakan nilai negatif, kedalaman air laut, dan masih banyak lagi.
Operasi Hitung Bilangan Bulat
Pada artikel ini, kita akan mempelajari operasi hitung bilangan bulat mulai dari penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Operasi Penjumlahan
Operasi penjumlahan bilangan bulat menggunakan tanda operasi jumlah (+). Sebelum kita mempelajari operasi penjumlahan bilangan bulat, berikut ada beberapa sifat operasi penjulahan bilangan bulat yaitu:
- Sifat Tertutup
Setiap penjumlahan bilangan bulat akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Inilah yang disebut dengan sifat tertutup.
Contoh: -2 + 5 = 3
Pada contoh, -2 merupakan bilangan bulat ditambahkan dengan 5 yang juga merupakan bilangan bulat menghasilkan 3. Bilangan 3 merupakan bilangan bulat.
- Sifat Komutatif
Setiap penjumlahan bilangan bulat dapat ditukar posisi dan akan menghasilkan nilai yang sama.
Contoh:
-2 + 5 = 3
5 + (-2) = 3
Dari kedua operasi penjumlahan di atas menghasilkan nilai yang sama yaitu 3. Sifat komutatif dari operasi penjumlahan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
-2 +5 = 5 + (-2)
Secara umum, sifat komutatif dapat dituliskan sebagai berikut:
a + b = b + a
- Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
Pada operasi bilangan bulat berlaku sifat asosiatif atau pengelompokan. Untuk lebih memahami sifat asosiatif, mati kita cermati contoh berikut!
(7 + (-2)) + 3 = 5 + 3 = 8
7 + ((-2) + 3) = 7 + 1 = 8
Pada contoh di atas, jika kita menyelesaikan terlebih dahulu 7 + (-2) kemudian baru ditambahkan 3 maka nilainya akan sama ketika kita menyelesaikan dulu -2 + 3 kemudian baru ditambahkan 7. Sifat inilah yang disebut sifat asosiatif atau pengelompokan Secara umum, sifat asosiatif dapat dituliskan sebagai berikut:
(a + b) + c = a + (b + c)
- Unsur Identitas
Setiap bilangan bulat yang ditambahkan dengan bilangan 0 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Sehingga bilangan 0 merupakan identitas dari penjumlahan bilangan bulat.
Contoh:
3 + 0 = 3
-5 + 0 = -5
Pada contoh di atas bilangan bulat berapapun yang ditambahkan dengan 0 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Secara umum unsur identitas ini dapat dituliskan sebagai berikut:
a + 0 = 0 + a = a
Setelah kita mengetahui beberapa sifat operasi penjumlahan bilangan bulat di atas, kita akan belajar bersama tentang bagaimana cara melakukan operasi penjumlahan bilangan bulat.
Beberapa cara yang dapat membantu kita mempelajari operasi penjumlahan bilangan bulat adalah dengan menggunakan garis bilangan dan alat bantu bola kecil. Pada artikel ini, kita akan mempelajari cara menggunakan garis bilangan untuk membantu menyelesaikan operasi bilangan bulat.
Contoh:
Pada garis bilangan di atas menunjukkan operasi penjumlahan 4 + 5 = 9. Dalam penggunaan garis bilangan, kita mulai dari titik 0. Bilangan 4 ditunjukkan dengan bergeser ke kanan sejauh 4 (positif ke arah kanan dan negatif ke arah kiri). Setelah itu, dari bilangan 4 bergeser ke kanan lagi sejauh 5 karena operasi ditambah 5. Titik akhir dari garis bilangan adalah jawabannya, yaitu bilangan 9.
Berikut ada beberapa contoh operasi penjumlahan bilangan bulat. Kalian bisa mencoba menggambarkan garis bilangannya di rumah ya!
- 5 + 7 = 12
- -4 + 9 = 5
- 2 + (-8) = -6
- 11 + (-3) = 8
Selamat mencoba!!!
Operasi Pengurangan
Dalam operasi pengurangan kita akan menggunakan tanda kurang (-). Sedikit berbeda dari operasi penjumlahan, operasi pengurangan hanya bersifat tertutup dan tidak berlaku sifat komutatif maupun sifat asosiatif. Mengapa demikian? Mari kita cermati beberapa contoh operasi pengurangan berikut!
- 6 – 4 = 2
Pada contoh tersebut, 6, 4, dan 2 merupakan bilangan bulat. Bilangan bulat yang dikurangkan dengan bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga. Sehingga operasi pengurangan bersifat tertutup.
Jika 6 – 4 = 2, apakah 4 – 6 akan menghasilkan bilangan yang sama? Jawabannya adalah tidak. Mari kita perhatikan garis bilangan berikut ini!
Pada garis bilangan tersebut, mula-mula dari titik 0 kita menggeser ke kanan sejauh 4. Karena dikurang 6, kita menggeser ke kiri sejauh 6 (positif ke arah kanan dan negatif ke arah kiri). Titik akhirnya ada di bilangan -2. Hasil dari 4 – 6 = -2. Sehingga operasi pengurangan bilangan bulat tidak berlaku sifat komutatif karena 6 – 4 tidak sama dengan 4 – 6.
- 8 – 3 – 2 = 3
Menurut contoh tersebut, mari kita cermati operasi pengurangan di bawah ini:
(8 – 3) – 2 = 5 – 2 = 3
8 – (3 – 2) = 8 – 1 = 7
Dari operasi pengurangan di atas, apabila kita menyelesaikan 8 – 3 terlebih dahulu hasilnya adalah 3. Jika operasi 3 – 2 didahulukan hasilnya adalah 7. Dari sini dapat kita simpulkan bahwa sifat asosiatif atau pengelompokan tidak berlaku pada operasi bilangan bulat.
Berikut beberapa contoh soal operasi pengurangan bilangan bulat.
- 18 – 5 = 13
- 5 – 9 = -4
- -2 – 4 = -6
- 12 – 20 = -8
Operasi Perkalian
Operasi perkalian bilangan bulat memiliki beberapa sifat, yaitu:
- Sifat Tertutup
Bilangan bulat dikalikan bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat pula, misalkan 5 x 7 = 35. Bilangan 5, 7, dan 35 merupakan bilangan bulat.
- Sifat Komutatif
Operasi perkalian akan menghasilkan bilangan yang sama jika ditukar. Mari kita cermati contoh berikut!
3 x 6 = 18
6 x 3 = 18
Dari contoh di atas nilai dari 3 x 6 sama dengan 6 x3. Secara umum sifat komutatif operasi perkalian dapat dituliskan sebagai berikut:
a x b = b x a
- Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
Dalam operasi perkalian juga memiliki sifat asosiatif (pengelompokan). Mari kita cermati contoh berikut!
(2 x 4) x 5 = 8 x 5 = 40
2 x (4 x 5) = 2 x 20 = 40
Pada perkalian 2 x 4 x5 jika kita mengoperasikan 2 x 4 terlebih dahulu hasilnya akan sama saat kita mengalikan 4 x 5 terlebih dahulu. Secara umum sifat asosiatif dapat dituliskan sebagai berikut:
(a x b) x c = a x (b x c)
- Sifat Distributif
Pada operasi perkalian bilangan bulat, sifat distributif dapat berperan sebagai penyebaran atau penggabungan. Sifat distributif dari perkalian dikombinasikan dengan operasi penjumlahan atau pengurangan. Secara umum penulisan sifat distributif adalah sebagai berikut:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
a x (b – c) = (a x b) – (a x c)
Untuk lebih memahami penggunaan sifat distributif, mari kita cermati contoh berikut!
- 4 x (5 + 3) = 4 x 8 = 32
(4 x 5) + (4 x 3) = 20 + 12 = 23
- 8 x (2 + 4) = (8 x 2) + (8 x 4) = 48
- Unsur Identitas
Operasi perkalian bilangan bulat memiliki unsur identitas 1. Setiap bilangan bulat yang dikalikan 1 akan memberikan hasil yaitu bilangan itu sendiri. Mari kita cermati contoh berikut!
- 2 x1 = 2
- 15 x 1 = 15
- -3 x 1 = -3
- -12 x 1 = -12
Pada operasi perkalian bilangan bulat terdapat beberapa ketentuan khusus yang dapat kita cermati pada tabel berikut.
Bagaimana penggunaan dari ketentuan pada tabel tersebut? Mari kita simak beberapa contoh soal berikut!
- 4 x 6 = 24
- -2 x 3 = -6
- 8 x (-4) = -32
- -5 x (-3) = 15
- 12 x (-3) = -36
- 7 x 7 = 49
- -3 x (-15) = 45
- 12 x (-4) = -48
Untuk dapat mengingat perkalian tanda tersebut, kalian dapat mengingatnya dengan cara berikut:
Perkalian bilangan bertanda sama menghasilkan bilangan positif (+).
Perkalian bilangan bertanda beda menghasilkan bilangan negatif (-).
Operasi Pembagian
Kita telah sampai pada operasi hitung yang terakhir yaitu operasi pembagian. Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat-sifat yang ada pada operasi perkalian. Jadi kalian cukup mempelajari tabel berikut ini.
Kalau kita perhatikan, tabel tanda pada operasi pembagian bilangan bulat memiliki tanda hasil yang sama dengan tabel tanda pada operasi perkalian. Jadi, kalian cukup mengingat tanda pada operasi perkalian saja, ya.
Berikut ada beberapa contoh soal operasi pembagian bilangan bulat.
- 24 : 3 = 8
- 24 : (-6) = -4
- -30 : (-5) = 6
- -32 : (-4) = -8
- 40 : (-4) -10
- 48 : 8 = 6
- -48 : 8 = -6
- 25 : (-5) = 5
Operasi Hitung Campuran
Pada operasi hitung campuran akan dilibatkan berbagai operasi bilangan yang telah kita pelajari sebelumnya, mulai operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, sampai pembagian. Pedoman utama yang harus kalian ingat adalah memprioritaskan urutan berikut:
- Mendahulukan tanda kurung ( … )
- Operasi perkalian dan pembagian (x & 🙂
- Operasi penjumlahan dan pengurangan (+ & -)
- Mengerjakan operasi hitung campuran dari depan
Untuk lebih memahami bagaimana operasi hitung campuran itu, mari kita cermati beberapa contoh soal berikut:
- 25 + 4 x (-5) = 25 + (-20) = 25 – 20 = 5
Penjelasan:
Pada soal terdapat operasi + dan x sehingga kita harus menyelesaikan perkaliannya terlebih dahulu. Kemudian ada 25 + (-20) kita sederhanakan menjadi 25 – 20 (menyederhanakan dua tanda dengan operasi perkalian, sehingga + (-20) menjadi -20).
- 15 x (12 – 8) = 15 x 4 = 60
Penjelasan:
Pada soal terdapat tanda kurung sehingga kita menyelesaikan terbeih dahulu operasi hitung di dalamnya.
- 75 : (-5) – 30 x (-2) = -15 – (-60) = -15 + 60 = 45
Penjelasan:
Pada soal terdapat operasi :, -, dan x. Kita harus menyelesaikan operasi perkalian dan pembagiannya terlebih dahulu. Operasi -15 – (-60) kita sederhanakan menjadi -15 + 60 (menyederhanakan tanda operasi dengan operasi perkalian).
Wah, tidak terasa artikel kali ini telah selesai. Kita telah mempelajari bersama tentang bilangan bulat, operasi hitung, beserta beberapa contoh soal di dalamnya. Semoga bermanfaat dan sampai jumpa di artikel-artikel berikutnya.
Untuk meningkatkan pemahaman kalian tentang bilangan bulat, kalian dapat berlatih soal-soal berikut ini ya.
Latihan Soal!
- -125 + 110 : (-2) = …
- (60 – 33) : (-3) = …
- 250 x 5 + (-900) – 23 = …
- 144 : 12 x (-6) – 65 = …
- 200 – 145 : (-3) + 12 = …